Тема урока: «Определение количества решений системы логических уравнений»,

Цели:

1. Знакомство учащихся с решением систем логических уравнений, методами определения количества решений системы логических уравнений и их использования для решения задач;
2. Развитие математического, логического мышления, воображения, умения анализировать, применять ранее полученные знания;
3. Воспитание интереса к предмету, внимания.

Оборудование: интерактивный комплекс, материалы ЕГЭ.

Ход урока

1. Организационный момент. На уроках математики вы знакомитесь с решением различных уравнений – алгебраических, трансцендентных и т.д. и их систем. Более экзотические – логические уравнения, в которых все величины могут принимать только два значения – «истина (1)» или «ложь (0)». Традиционно эти уравнения тоже относятся к математике, но на практике логические уравнения и их системы оказались полезны при разработке цифровых логических устройств, поэтому в ЕГЭ по информатике появились задания, в которых необходимо решить логическое уравнение или определить количество решений системы логических уравнений.

Наша сегодняшняя задача – научиться определять количество решений системы логических уравнений, в ЕГЭ – это задание В15.

2. Актуализация знаний. Давайте вспомним базовые логические операции – инверсия, дизъюнкция и конъюнкция, (обучающиеся дают определения и вспоминают таблицу истинности для этих операций).

Производные от базовых логических функций – исключающее ИЛИ, импликация, эквиваленция.

Вспомним некоторые логические тождества, которые помогут в преобразовании логических уравнений:

3. Новый материал. Способов решения систем логических уравнений достаточно много:

1. Сведение к одному уравнению
2. Составление таблицы истинности. Напомню, количество строк таблицы рассчитывается по формуле  n=2^k, где k – количество логических переменных, в системах количество переменных – до 10 и более, тогда количество строк - >= 1024!
3. Декомпозиция. В этом методе фиксируется одна переменная (0 или 1), система за счет этого упрощается, затем фиксируется вторая переменная и т.д. Метод трудоемкий.
4. Последовательное решение уравнений.

Количество решений. В задаче 23 ЕГЭ требуется найти количество решений системы логических уравнений.

Задача 1. Найти количество решений системы логических уравнений:

где x1 … x10 – неизвестные логические величины.

Решение: Несложно заметить, что первое уравнение зависит только от х1 и х2, затем во втором уравнении добавляется х3 и т.д., логично попробовать решать уравнения последовательно, простраивая дерево решений. Первое уравнение обращается в истинное равенство в трех случаях:

Количество решений 1-го уравнения – 3. Теперь подключаем второе уравнение. Допустим, что х3 зависит от ранее выбранного значения х2: если х2=0, то х3 может принимать любое значение (0 или 1), а если х2=1, то х3=1.

Количество решений – 4. Легко заметить, что при добавлении очередного уравнения (и очередной переменной) количество решений увеличивается на 1. Таким образом, система из трех уравнений имеет 5 решений, из четырех – 6, а исходная система из 9 уравнений – 11 решений. Ответ: 11 решений.

Задача 2. Найти количество решений системы логических уравнений:

Решение: Здесь, так же как и в предыдущей задаче, удобнее всего последовательно решать уравнения. Количество уравнений – 9. Сначала упростим исходные уравнения:

Первое уравнение имеет 6 решений, при добавлении очередной переменной количество решений увеличивается на 2. Последнее 9-ое уравнение выполняется при Х1 не равном Х10, это возможно в двух случаях – крайние ветки, для которых 0=0 И 1= 1, отбрасываем эти два решения, тогда количество решений – 20-2=18. Ответ: 18 решений.